Анотація до роботи:

Каплун Ю.I. Асимптотичнi розв'язки сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю. -- Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.02 - диференцiальнi рiвняння. - Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ, 2001.

У дисертацiї дано вирiшення задачi про побудову асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з умовами iмпульсної дiї у фiксованi моменти часу.

На основi методу примежових функцiй розроблено алгоритм побудови асимптотичних розв'язкiв диференцiальних рiвнянь з малим параметром при старшiй похiднiй для випадку, коли умова iмпульсної дiї мiстить малий параметр, та для випадку, коли умова iмпульсної дiї не залежить вiд малого параметра.

Доведено аналог теореми А.Б.Васильєвої, що вказує на порядок, з яким асимптотичний розв'язок задовольняє вихiдну задачу. Знайдено достатнi умови iснування перiодичного асимптотичного розв'язку.

Дослiджено породжуючу задачу для сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю, що записуються за допомогою рiвняння, яке задає функцiю неявним чином, та мiстить умову iмпульсної дiї. Вивчено перiодичнiсть таких розв'язкiв.

Для сингулярно збуреного рiвняння з iмпульсною дiєю, що залежить вiд малого параметра, проаналiзовано породжуючу задачу, яка для цього випадку має вигляд рiвняння, що задає функцiю неявним чином. Для такого рiвняння розглянуто задачу iснування глобального розв'язку, тобто розв'язку, який iснує на максимальному iнтервалi. Запропоновано алгоритм визначення такого iнтервала та встановлено глобальну теорему про неявну функцiю. Вивчено також кусково неперервно диференцiйовнi (неперервнi) розв'язки i знайдено достатнi умови iснування перiодичних розв'язкiв для даного класу задач.

Дано застосування глобальної теореми про неявну функцiю для розв'язання задачi про продовжуванiсть розв'язкiв звичайного диференцiального рiвняння першого порядку на i через сингулярну множину, тобто множину, де права частина розглядуваного рiвняння не визначена.

У дисертацiї дано вирiшення задачi про побудову асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з умовами iмпульсної дiї у фiксованi моменти часу.

На основi методу примежових функцiй розроблено алгоритм побудови асимптотичних розв'язкiв диференцiальних рiвнянь з малим параметром при старшiй похiднiй для випадку, коли умова iмпульсної дiї мiстить малий параметр, та для випадку, коли умова iмпульсної дiї не залежить вiд малого параметра.

Доведено аналог теореми А.Б.Васильєвої, що вказує на порядок, з яким асимптотичний розв'язок задовольняє вихiдну задачу. Знайдено достатнi умови iснування перiодичного асимптотичного розв'язку.

Вивчено породжуючу задачу для сингулярно збуреного рiвняння з умовою iмпульсної дiї, яка мiстить рiвняння, що задає функцiю неявним чином, та умову iмпульсної дiї. Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування розривних розв'язкiв рiвняння, що не розв'язане стосовно невiдомої функцiї. Встановлено умови перiодичностi таких розв'язкiв.

Для сингулярно збуреного рiвняння з iмпульсною дiєю, що залежить вiд малого параметра проаналiзовано породжуючу задачу, яка для цього випадку має вигляд рiвняння, шо задає функцiю неявним чином. Встановлено умови iснування глобального розв'язку та запропоновано алгоритм визначення максимального iнтервала. Доведено глобальну теорему про неявну функцiю.

Дано застосування глобальної теореми про неявну функцiю для розв'язання задачi про продовжуванiсть розв'язкiв звичайного диференцiального рiвняння першого порядку на i через сингулярну множину, тобто множину, де права частина розглядуваного рiвняння не визначена.

Публікації автора:

1. Каплун Ю.I. Асимптотичнi розв'язки сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю: Працi Iн-ту математики // Математика та її застосування. - 2001. - Т. 36. Груповi та аналiтичнi методи в математичнй фiзицi. - С. 111 - 115.

2. Самойленко В.Г., Каплун Ю.И. О глобальных решениях функциональных уравнений // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т. 36, N 11. - C. 1578.

3. Самойленко В.Г., Каплун Ю.I. Рiвняння g(t,x)=0: iснування та продовжуванiсть його розв'язкiв // Укр. мат. журн. - 2001. - Т. 52, N 3. - C. 372 - 382.

4. Самойленко В.Г., Каплун Ю.І., Павлоцький І.П., Стріанезе М. О продолжимости решений дифференциальных уравнений на сингулярное множество // Труды института прикладной математики и механики НАН Украины. - Том 6. - Донецк. - 2001. - С. 125 - 127.

5. Kaplun Yu.I., Samoylenko V.Hr., Pavlotsky I.P., Strianese M. Global implicit function theorem and it's application in the theory of ordinary differential equations // Доповiдi НАН України. - 2001. - N 6. - P. 38 - 41.

6. Каплун Ю.I. Пpо деякi задачi в теоpiї сингулярно збурених паpаболiчних pелейних систем типу pеакцiя - дифузiя // Тези доповiдей Укpаїнського математичного конгpесу. Математична фізика. - Київ. - 2001. - С. 14.

7. Каплун Ю.I., Самойленко В.Г. Рiвняння g(t,x)=0: iснування та продовжуванiсть його розв'язкiв // Тези доповiдей Мiжнар. конф. "Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння". - Одеса. - 2000. - C. 121 - 122.

8. Kaplun Yu.I. Singularly perturbed equations with impulsive effects / Abstracts of International conference "Dynamical systems modelling and stability investigation. - Kyiv. - 2001. - P. 119.

9. Kaplun Yu.I., Samoylenko V.Hr. On prolongation of the solution to the non-autonomous differential equations on the singular set // Book of abstracts of Internatinal conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the 100th Anniversary of I.G.Petrovskii. - Moscow (Russia). - 2001. - P. 181.

10. Kaplun Yu.I., Samoylenko V.Hr. Functional equations with impulses // Abstracts of International Conference dedicated to M.A.Lavrentyev on the occasion of his Centenary. - Kyiv (Ukraine). - 2000. - P. 23 - 24.