У дисертаційній роботі розглядалися наступні початково-крайові задачі, які описують коливання термопружної пластини фон Кармана в потенціальному потоці газу: повна система (11)-(18), що описує як нелінійні коливання термопружної пластини, так і збурення потоку газу, який займає верхній півпростір та рухається вздовж осі зі швидкістю ; система із запізненням (20)-(25), отримана в результаті редукції повної системи (11)-(18), якщо початкові дані для газу мають компактні носії; ця система описує тільки коливання термопружної пластини. Ці задачі виникають при моделюванні коливань обшивки літального апарату при його русі в атмосфері. Метою дисертаційної роботи був опис якісної поведінки розв’язків вищезгаданих задач при великих значеннях часу. Задачі про коливання нелінійної термопружної пластини в потенціальному лінеаризованому потоці газу на строгому математичному рівні вивчаються вперше. У дисертації отримано низку нових результатів щодо якісних властивостей розв’язків розглянутих задач, а саме: доведена коректна розв’язність повної системи рівнянь "термопружна пластина + газ" (11)-(18) для будь-яких значень швидкості потоку газу у випадку урахування інерції обертання () та для дозвукового потоку газу у випадку нехтування інерцією обертання (); встановлено коректну розв’язність системи рівнянь із запізненням (20)-(25), яка є редукцією вихідної задачі; показано, що розв’язки повної системи "пластина + газ" притягуються до множини нерухомих точок системи в локально-енергетичній топології; при цьому стабілізація має місце тільки за рахунок теплової дисипації на пластині та спадання локальної енергії для хвильової компоненти системи; присутності будь-якої механічної дисипації в моделі не припускається; встановлено додаткову граничну регулярність розв’язків хвильового рівняння в півпросторі; доведено існування компактного глобального атрактора скінченної фрактальної розмірності для зведеної системи із запізненням (20)-(25) для будь-яких при та для достатньо великих при ; показано, що асимптотична поведінка усіх трьох компонент розв’язку задачі із запізненням (20)-(25) повністю визначається асимптотичною поведінкою першої компоненти та, крім того, може бути описано скінченним числом параметрів. Зокрема, ці результати означають, що у випадку дозвукового потоку газу розглянуті задачі мають тільки регулярні граничні режими, тобто теплова дисипація в пластині робіть панельний флатер неможливим при дозвукових швидкостях. Отримані в дисертаційній роботі результати можуть слугувати основою для побудови ефективних алгоритмів чисельного дослідження граничних режимів розглянутих задач. |